En iPhone:
Cuando te los manda, toca los tres puntos arriba a la derecha y guarda en el chat (yo hago esto y no se ha quejado). También puedes hacerlo con sus historias. Pon el teléfono en modo avión, luego mantén pulsada la foto/video en tu chat con ella y elige guardar en el carrete. Puedes hacerlo con varios a la vez siempre que los hayas cargado antes de activar el modo avión, unos 10 o 20. Cuando termines de guardarlos, desinstala snapchat del teléfono antes de desactivar el modo avión. No se enviará ninguna notificación mientras borres la app antes de reconectarte a internet. Puedes volver a descargar Snapchat enseguida, no recordará que guardaste cosas en el carrete y no se enviará notificación. Debería recordar tu login y abrir tu cuenta sin problemas, así que todo el proceso es bastante rápido y fácil.
Esto me ha funcionado durante años, pero normalmente lo pruebo con una cuenta alt de snapchat para estar seguro si hace tiempo que no lo hago.
En Android no puedo prometer que funcione porque son todos muy distintos.